Asysta (wsparcie grawitacyjne) jest w zasadzie przekazaniem części
energii kinetycznej dużego ciała kosmicznego (praktycznie planety)
podróżującemu statkowi kosmicznemu.
Należy w tym celu wykonać manewr, który w swej optymalnej formie
będzie przypominał sprężyste "odbicie" statku od planety. Powinniśmy
poruszać się w kierunku planety z prędkością v, po silnie
spłaszczonej orbicie hiperbolicznej, natomiast planeta powinna
poruszać się w kierunku przeciwnym (na wprost nas) z prędkością U. Z
punktu widzenia planety, najpierw spadamy w jej kierunku z
prędkością U+v, następnie (po okrążeniu planety po orbicie
hiperbolicznej) odlatujemy w przestrzeń również z prędkością U+v.
Jednak z punktu widzenia obserwatora zewnętrznego (np. Słońca)
uzyskujemy końcową prędkość 2U+v, podczas gdy planeta w zasadzie nie
zmienia swej prędkości (zakładając, że masa statku m jest
zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą planety M). Przypomina to
odbicie (w czołowym zderzeniu) niewielkiej kuli bilardowej od kuli
wielokrotnie większej. Dokładniej, z zasady zachowania energii i
pędu otrzymujemy następujące związki między prędkościami przed i po
wykonaniu manewru:
M*U12 + m v12 = M *U22 + m*v22
M*U1 - m*v1 = M*U2 + m*v2
Rozwiązując względem v2 otrzymujemy:
v2 = ((1-q)v1 + 2*U1)/(1+q)
Ponieważ q jest bliskie 0, możemy to przybliżyć otrzymanym wcześniej
oszacowaniem v2 = v1 + 2*U1. Oczywiście większość rzeczywistych
manewrów nie jest prostym zwrotem o 180 stopni, jednak zasada ogólna
pozostaje ta sama. Załóżmy, że planeta porusza się wzdłuż osi x, a
ruch statku kosmicznego odbywa się w płaszczyźnie x,y. Załóżmy też,
że pierwotny (asymptotyczny) kierunek lotu statku przecina oś x pod
kątem theta, oraz że tor lotu jest symetryczny względem x. Pierwotny
wektor prędkości statku to:
v1x = -v1*cos(theta) v1y = v1*sin(theta)
natomiast wektor prędkości końcowej:
v2x = v1*cos(theta) + 2u v2y = v1*sin(theta)
Tak więc prędkość początkowa wynosi v1, a końcowa:
v2 = (v1 + 2*u) sqrt[ 1 - 4*u*v1(1-cos(theta))/(v1+2*u)2 ]
sqrt()-pierwiastek kwadratowy
Rozważmy dla przykładu prędkość początkową równą U (zarówno dla
planety, jak statku). Wówczas powyższa zależność upraszcza się do:
v2 = v1*sqrt[5 + 4*cos(theta)]
stąd dla theta=0 mamy v2 = 3 v1. Z drugiej strony, dla theta=pi mamy
v2 = v1, co jest zrozumiałe, gdyż odpowiada sytuacji ruchu planety i
statku w tym samym kierunku i z tą samą prędkością. Bardziej
realistyczny jest przypadek, gdy statek porusza się prawie
prostopadle do toru ruchu planety (theta = pi/2) i przelatuje tuż za
nią. W tym przypadku statek doznaje odchylenia w kierunku ruchu
planety o kąt zgodny z powyższymi wzorami, przy czym prędkość rośnie
sqrt(5) = 2.23 razy w stosunku do pierwotnej.
Gdyby planety były punktowe, teoretycznie możliwe jest osiągnięcie
nieskończonej prędkości w skończonym czasie dzięki przelotom w
pobliżu odpowiednio dobranego ich zestawu (w dość wymyślnym układzie
planetarnym). Oczywiście w praktyce uzyskiwane prędkości są
ograniczone przez to, że pole grawitacyjne planet rozciągające się w
bezpiecznej odległości poza ich powierzchnią i atmosferą może być
zbyt słabe na "przechwycenie" (wymaganą zmianę kierunku lotu) zbyt
szybko poruszającego się statku. Podczas misji NASA sondy
wielokrotnie przy okazji tego typu manewrów muskały górne warstwy
atmosfery Wenus i Ziemi.
I prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby
mógł on orbitować wokół Ziemi lub innego ciała kosmicznego, np.
planety. Ściśle jest to prędkość na kołowej orbicie o promieniu
równym średniemu promieniowi danego ciała kosmicznego, wokół
punktowej (lub kulistej, o sferycznie równomiernym rozkładzie
gęstości) masy, równej masie tego ciała. Oczywiście jest to pewna
idealizacja i nie odpowiada rzeczywistemu przypadkowi np. rakiety
startującej z Ziemi, która to musi pokonać jeszcze opory atmosfery i
dodatkowo wznieść się na wysokość, na której atmosfera jest
wystarczająco rozrzedzona, dla normalnego ruchu orbitalnego.
Prędkość tą otrzymamy obliczając przyspieszenie grawitacyjne:
a=F/m=G*M/r2 i porównując z przyspieszeniem dośrodkowym w ruchu po
okręgu a=v2/r. Stąd v=sqrt(G*M/r), gdzie G - stała grawitacji, M -
masa ciała kosmicznego, r - promień ciała kosmicznego. Po
podstawieniu wartości liczbowych dla Ziemi dostajemy v1=7,91 km/s. W
rzeczywistości rakiety startując z Ziemi na wschód otrzymują już
część prędkości z ruchu rotacyjnego planety. Dlatego też kosmodromy
najchętniej buduje się jak najbliżej równika, gdzie zysk prędkości
jest największy (w przypadku startu z równika Ziemi wynosi ok. 463 m/s).
II prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby
wyrwał się z grawitacji danego ciała kosmicznego. Ściśle jest to
prędkość, jaką musi otrzymać dany obiekt na powierzchni danego ciała
kosmicznego, aby tor jego ruchu stał się parabolą lub hiperbolą.
Obliczamy ją znajdując różnicę w energii obiektu znajdującego się na
powierzchni danego ciała kosmicznego oraz w nieskończoności. Energia
w nieskończoności równa jest 0, natomiast na powierzchni jest sumą
energii potencjalnej -G*M*m/r oraz kinetycznej m*v2/2. Dostajemy
więc równanie m*v2/2-G*M*m/r=0, z którego wynika v=sqrt(2*G*M/r).
Podstawienie danych liczbowych dla Ziemi daje v2=11,19 km/s. Widać
więc, że obie prędkości różnią się o czynnik sqrt(2)=1,4142...
Wszystko to przy założeniu, że nie ma innego ciała kosmicznego
oprócz rozpatrywanego - a że zwykle inne ciała są (w przypadku np.
Układu Słonecznego), więc tor lotu w praktyce nie jest parabolą, bo
zaginają go po swojemu oddziaływania grawitacyjne tych innych ciał
(Słońca, Księżyca...).
III prędkość kosmiczną definiujemy analogicznie do drugiej, tym
razem za obiekt, z którego uciekamy, przyjmując Układ Słoneczny.
Zachowując warunek, że jest to prędkość liczona względem powierzchni
Ziemi, za r musimy wstawić średnią odległość Ziemi od Słońca, za M
masę Słońca (która skupia większość masy układu). Daje to v3=42
km/s. Warto jednak pamiętać, że startująca rakieta ma już pewną
prędkość związaną z orbitalnym ruchem ciała kosmicznego, więc w
istocie nie musi ona się rozpędzać aż do tej prędkości, wystarczy
około 16,7 km/s dla startu z Ziemi. Sondy, które opuściły nasz Układ
Słoneczny część energii otrzymały także kosztem planet olbrzymów
(asysta grawitacyjna). Zasadniczo podaje się ją względem Słońca, ale
można podać dla innego punktu startu (im dalej od ciała, tym
mniejsza prędkość ucieczki).
Można się jeszcze spotkać z czwartą prędkością kosmiczną, którą
definiujemy analogicznie do dwóch poprzednich przyjmując, że jest to
prędkość ucieczki z naszej Galaktyki. Wynosi ona około 350 km/s, lub
uwzględniając ruch Słońca ok. 130 km/s. Niektórzy autorzy skłonni są
definiować także piątą prędkość kosmiczną, jako prędkość ucieczki z
wszechświata. Jej obliczenie jest jednak niemożliwe, ze względu na
naszą nikłą wiedzę odnośnie jego globalnej budowy. W wątpliwość
należy poddać, czy taka prędkość w ogóle może istnieć
