Elementy logiki matematycznej
Zdaniem w matematyce nazywamy takie zdanie w sensie gramatycznym, o którym można jednoznacznie orzec, czy jest prawdziwe czy fałszywe. Wartość logiczną zdania prawdziwego oznaczamy przez 1, zdanie fałszywe ma wartość logiczną 0. Zdania na ogół oznaczamy literami: p, q, r,….
Funkcją zdaniową (formą zdaniową) nazywamy wyrażenie, które po wstawieniu w miejsce zawierające zmienną x dowolnego elementu należącego do dziedziny staje się zdaniem logicznym.
Negacja (zaprzeczenie) zdania p - zdanie „nieprawda, że p” oznaczamy:
p ~ p
1
0 0
1
Koniunkcja zdań p i q – zdanie „p i q” oznaczamy:
Alternatywa zdań p i q – zdanie „p lub q” oznaczamy
Implikacja (wynikanie) zdań p i q – zdanie „jeżeli p, to q” oznaczamy:
Równoważność zdań p i q – zdanie „p wtedy i tylko wtedy, gdy q” oznaczamy:
PRAWA RACHUNKU ZDAŃ - TAUTOLOGIE
Zdanie logiczne nazywamy tautologia, jeśli jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zmiennych zdaniowych w nim występujących.
KWANTYFIKATORY
Kwantyfikator ogólny
- zwrot „dla każdego x należącego do….”
Kwantyfikator szczegółowy
- zwrot „istnieje takie x należące do…”
Prawa de'Morgana dla kwantyfikatorów:
SYMBOLIKA
DZIAŁANIA NA ZBIORACH
Suma zbiorów
Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów należących do zbioru A lub do zbioru B. Sumę zbiorów oznaczamy symbolem A B
Różnica zbiorów
Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z elementów należących do zbioru A i nie należących do zbioru B. Różnicę zbiorów zapisujemy w postaci A \ B
Iloczyn zbiorów
Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów należących jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Iloczyn zbiorów zapisujemy symbolem A B
Dopełnienie zbioru do przestrzeni
Jeżeli jest ustalonym zbiorem i A jest podzbiorem właściwym zbioru to różnicę zbiorów i A nazywamy dopełnieniem zbioru A względem zbioru . Dopełnienie zbioru A oznacza się symbolem A'.
A A' = A' = \ A
